Rumus Statistika UkuranPemusatan Data
advertisement
1.
Rumus Modus
a.Rumus Modus Untuk Data Tunggal
Rumus statistika modus. Untuk mencari modus dari data tunggal cukup dengan mencari nilai yang banyak keluar.
contoh ;ada sebuah data tunggal sebagai berikut 2,3,5,7,3,4,7,8,4,6,4,5,4
dari data tunggal di atas maka modusnya adalah 4 (keluar 4 kali)
Rumus statistika modus. Untuk mencari modus dari data tunggal cukup dengan mencari nilai yang banyak keluar.
contoh ;ada sebuah data tunggal sebagai berikut 2,3,5,7,3,4,7,8,4,6,4,5,4
dari data tunggal di atas maka modusnya adalah 4 (keluar 4 kali)
b. Rumus Modus Untuk data Kelompok
keterangan
Mo = modus
c = panjang kelas (interval kelas)
Lo = batas bawah dari kelas modus,
fo = frekuensi kelas modus,
f1 = frekuensi dari kelas sebelum kelas modus,
f2 = frekuensi dari kelas setelah kelas modus
Mo = modus
c = panjang kelas (interval kelas)
Lo = batas bawah dari kelas modus,
fo = frekuensi kelas modus,
f1 = frekuensi dari kelas sebelum kelas modus,
f2 = frekuensi dari kelas setelah kelas modus
contoh;sederhana
Berapa modus dari data kelompok berikut dan bagaimana cara menghitung modusnya?
Berapa modus dari data kelompok berikut dan bagaimana cara menghitung modusnya?
|
Batas Kelas
|
Frekuensi
|
|
19,5-24,5
|
100
|
|
24,5-30,5
|
120
|
|
30,5-35,5
|
70
|
|
35,5-40,5
|
150
|
|
40,5-45,5
|
90
|
|
45,5-50,5
|
80
|
|
50,5-55,5
|
30
|
Interval Kelas (c) = 5
Batas BawahKelas modus = 35,5
fo = 150
f1 = 70
f2 = 90
Batas BawahKelas modus = 35,5
fo = 150
f1 = 70
f2 = 90
Jadi modusnya = 35,5 + 5
(80/(80+60)) = 35,5 + 5 (80/140) = 35,5 + 2,86 = 38,36
2. Rumus Rata-rata/Rataan/Mean
a. RumusRataan Data Tunggal
contohsederhana : kita punya data
tunggal 4,5,6 maka rata-ratanya = (4+5+6)/3 =5
b. Rumus Rata-rata/Rataan/Mean Data Kelompok
fi=
frekuensi untuk nilaixi yang bersesuaian
xi = rata-rata kelas.
xi = rata-rata kelas.
Contoh :
Berapa rata-rata hitung pada tabel
frekuensi berikut:
|
xi
|
fi
|
|
70
|
5
|
|
69
|
6
|
|
45
|
3
|
|
80
|
1
|
|
56
|
1
|
Catatan: Tabel frekuensi pada tabel di atas merupakan tabel
frekuensi untuk data tunggal, bukan tabel frekuensi dari data yang sudah
dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu.
Jawab:
|
xi
|
fi
|
fixi
|
|
70
|
5
|
350
|
|
69
|
6
|
414
|
|
45
|
3
|
135
|
|
80
|
1
|
80
|
|
56
|
1
|
56
|
|
Jumlah
|
16
|
1035
|
3. Rumus Median /Nilai Tengah
a. Rumus Median Data Tunggal
Median apabila n ganjil:
Contoh 5:
Hitunglah median dari nilai ujian
matematika kelas 3 SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10
Jawab:
- data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7;
2; 9; 10
- setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6;
6; 7; 7; 7; 8; 9; 10
- banyaknya data (n) = 11
- posisi Me = ½(11+1) = 6
- jadi Median = 7 (data yang
terletak pada urutan ke-6)
|
Nilai Ujian
|
2
|
4
|
5
|
6
|
6
|
7
|
7
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
Urutan data ke-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
↑
|
Median apabila n genap:
Contoh 6:
Hitunglah median dari nilai ujian
matematika kelas 3 SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9
Jawab:
- data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7;
2; 9
- setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6;
6; 7; 7; 7; 8; 9
- banyaknya data (n) = 10
- posisi Me = ½(10+1) = 5.5
- Data tengahnya: 6 dan 7
- jadi Median = ½ (6+7) = 6.5
(rata-rata dari 2 data yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-6)
|
Nilai Ujian
|
2
|
4
|
5
|
6
|
6
|
7
|
7
|
7
|
8
|
9
|
||||||||
|
Urutan data ke-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
||||||||
|
↑
|
||||||||||||||||||
b. Rumus Median Data Kelompok
Lo = tepi bawah dari kelas limit yang mengandung median
Me = nilai median
n = banyaknya data
Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median
f0 = frekuensikelas yang memuat median
c = panjang interval kelas
Me = nilai median
n = banyaknya data
Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median
f0 = frekuensikelas yang memuat median
c = panjang interval kelas
ContohSoal
|
Kelas
|
Frekuensi
|
F Kumulatif
|
|
15-19
|
5
|
5
|
|
20-24
|
7
|
12
|
|
25-29
|
10
|
22
|
|
30-34
|
15
|
37
|
|
35-39
|
13
|
50
|
|
40-44
|
8
|
58
|
|
45-49
|
3
|
60
|
Dari tabel di atas dapat diketahui
bahwa median adalah suku antaran suku ke 29 dan suku ke 30 dan kelas letak
median ada di kelas 30-34.Jadi
Median = 29,5 +[(30-37)/15] 5 = 27,16
Jadi median dari data kelompok di atas adalah 27,16
Median = 29,5 +[(30-37)/15] 5 = 27,16
Jadi median dari data kelompok di atas adalah 27,16
PENGERTIAN KUARTIL (Qi), DESIL (Di), DAN PERSENTIL(Pi)
Jika sekelompok data
dibagi menjadi dua bagian yang sama, maka nilai yang berada di tengah (50%)
disebut dengan median.
Konsep median dapat
diperluas yaitu kelompok data yang telah diurutkan (membesar atau mengecil)
dibagi menjadi empat bagian sama banyak. Bilangan pembagi ada tiga masing
masing disebut Kuartil yaitu Kuartil Pertama / Bawah (Q1),
Kuartil Kedua / Tengah (Q2) dan Kuartil Ketiga / Atas (Q3)
a. KUARTIL (Qi)
Jika
sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyaknya dan sudah
disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut Kuartil, ada tiga buah Kuartil ialah Kuartil Pertama, Kurtil Kedua Dan Kuartil Ketiga yang masing masing
disingkat menjadi Q1, Q2
dan Q3 pemberian nama ini dimulai dari Kuartil yang paling kecil.
Untuk
menentukan nilai Kuartil dengan langkah berikut :
1. KUARTIL DATA TIDAK BERKELOMPOK
·
Data disusun menurut urutan nilainya
·
Menentukan letak kuartil dengan rumus
Qi = Nilai yang ke - i
(n+1) dimana i = 1,2,3
4
2. KUARTIL DATA BERKELOMPOK
( (in / 4) – F
Qi = Lo + C x ( ------------------ ) dimana i = 1,2,3
f
dimana
:
Lo
= Batas Bawah Kelas Kuartil
C = lebar Kelas
F = jumlah Frekuensi semua kelas sebelum kelas
Kuartil Qi
f = Frekuensi Kelas Kuartil Qi
b. DESIL (Di)
Jika sekelompok data dibagi menjadi sepuluh
bagian yang sama, maka didapat Sembilan (9) pembagi, masing masing disebut desil atau disingkat D yaitu D1,D2, D3,….D9
Nilai desil ke –I, yaitu Di ditentukan dengan rumus sbb :
1.
DESIL
DATA TIDAK BERKELOMPOK
i ( n + 1)
Di
= nilai yang ke - --------------- , i
= 1,2,3, ….., 9
10
2.
DESIL
DATA BERKELOMPOK
( (in / 10) – F
Di = Lo + C x ( ------------------ ) dimana i = 1,2,3
f
dimana
:
Lo = Batas Bawah Kelas Desil D1
C = Lebar Kelas
F = Jumlah Frekuensi semua kelas sebelum
kelas Desil D1
f = Frekuensi Kelas Desil D1
c. PERSENTIL (Pi)
jIka
sekelompok data dibagi menjadi 100 (seratus) bagian yang sama banyaknya, .maka
akan terdapat 99 pembagi yang masing masing disebut persentil (P) yaitu P1, P2, P3, …,P99
Nilai Persentil
ke-I, yaitu Pi dihitung
dengan rumus berikut.
1.
PERSENTIL
DATA TIDAK BERKELOMPOK
i ( n +
1)
Pi = nilai yang ke -
--------------- , i = 1,2,3, ….., 99
100
2.
PERSENTIL
DATA BERKELOMPOK
( (in / 100) – F
Pi = Lo + C x ( ---------------------- ) dimana i = 1,2,3….99
f
dimana
:
Lo = Batas Bawah Kelas Persentil P1
C
= Lebar Kelas
F = Jumlah Frekuensi semua kelas sebelum
kelas Persentil P1
f = Frekuensi Kelas Persentil P1
Contoh :
1.
Soal Perhitungan Kuartil (Qi), Desil (Di), Persentil (Di)
Data Tidak Berkelompok
Tentukan
Kuartil, Desil dan Persentil dari data upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan
rupiah ) berikut ini 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100.
Jawab
:
Urutan
Data : 30, 35,
40, 45, 50,
55, 60, 65, 75, 80, 85, 95, 100
Jumlah
data ( n ) = 13
KUARTIL DATA TIDAK BERKELOMPOK
Qi
= Nilai yang ke -i (n+1)
4
Q1
= Nilai yang ke -1 (13 + 1) = nilai ke 14 = nilai ke 3.5
4 4
Q1
= Nilai yang ke -3 dan nilai ke - 4
Q1
= Nilai yang ke -3 + 0.5 x (nilai ke-4 - nilai ke-3)
Q1
= 40
+ 0.5 x (45 - 40) = 42,5
-------------
Q2
= Nilai yang ke -2 (13 + 1) = nilai ke 28 = nilai ke 7 = 60
4 4
-------------
Q3
= Nilai yang ke -3 (13 + 1) = nilai ke 42 = nilai ke 10,5
4 4
Q3
= Nilai yang ke -10 + 0.5 x (nilai ke-11 -
nilai ke-10)
Q3
= 80
+ 0.5 x (85 - 80) = 82,5
--------------
DESIL DATA TIDAK BERKELOMPOK
i ( n + 1)
Di
= nilai yang ke - --------------- , i
= 1,2,3, ….., 9
10
D3
= Nilai yang ke -3 (13 + 1) = nilai ke 42 = nilai ke 4 1/5
10 10
D3
= Nilai yang ke -4 + (1/5) x (nilai ke-5 -
nilai ke-4)
D3
= 45
+ (1/5) x (50 - 45) = 46
-----------------
D7
= Nilai yang ke -7 (13 + 1) = nilai ke 98 = nilai ke 9 8/10
10 10
D7
= Nilai yang ke -9 + (8/10) x (nilai ke-10 -
nilai ke-9)
D7
= 70
+ (8/10) x (80 - 70) = 78
------------------
PERSENTIL DATA TIDAK BERKELOMPOK
i ( n +
1)
Pi = nilai yang ke -
--------------- , i = 1,2,3, ….., 99
100
i ( 13 +
1)
Pi = nilai yang ke -
--------------- , i = 1,2,3, ….., 99
100
P7
= Nilai yang ke -7 (13 + 1) = nilai ke 98 = nilai ke 9 8/100
100 100
P7
= Nilai yang ke -9 + (8/100) x (nilai ke-10 -
nilai ke-9)
P7
= 70
+ (8/100) x (80 - 70) = 70,8
P3
= Nilai yang ke -3 (13 + 1) = nilai ke 42 = nilai ke 4 1/50
100 100
P3
= Nilai yang ke -4 + (1/50) x (nilai ke-5 -
nilai ke-4)
P5
= 45
+ (1/50) x (50 - 45) = 45,1
2.
Soal Perhitungan Kuartil (Qi), Desil (Di), Persentil (Di)
Data Berkelompok
Tentukan
Kuartil, Desil dan Persentil dari Modal (dalam jutaan rupiah) dari 40
perusahaan yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut ini :
|
Modal
|
Nilai Tengah (X)
|
Frekuensi ( f )
|
f . X
|
|
112 - 120
|
116
|
4
|
464
|
|
121 – 129
|
125
|
5
|
652
|
|
130 – 138
|
134
|
8
|
1072
|
|
139 – 147
|
143
|
12
|
1716
|
|
148 - 156
|
152
|
5
|
760
|
|
157 - 165
|
161
|
4
|
644
|
|
166 - 174
|
170
|
2
|
340
|
|
|
|
∑ f = 40
|
∑ f . X = 5621
|
Jawab
:
Tentukan
dulu kelas interval Q1, Q2, dan Q3
Q1
membagi data menjadi 25% ke bawah dan 75% ke atas
Q2
membagi data menjadi 50% ke bawah dan 50% ke atas
Q3
membagi data menjadi 75% ke bawah dan 25% ke atas
Karena
n = 40 maka :
Q1
terletak pada kelas 130 – 138
Q2
terletak pada kelas 139 – 147
Q3
terletak pada kelas 148 – 156
KUARTIL DATA BERKELOMPOK
( (in / 4) – F
Qi = Lo + C x ( ------------------ )
f
Untuk
Q1 , maka Lo = 129,5 F = 4 + 5 = 9 C = 9
dan f = 9 sehingga diperoleh :
( (40 / 4) – 9
Qi = 129,5 + 9 x ( ------------------ )
8
( 10 – 9
Qi = 129,5 + 9 x ( ----------- )
8
Qi = 130,625
KUARTIL DATA BERKELOMPOK
Untuk
Q2 , maka Lo = 138,5 F = 4 + 5 + 8 = 17 C = 9
dan f = 12 sehingga diperoleh :
( (80 / 4) – 17
Q2 = 138,5 + 9 x ( ------------------ )
12
( 20 – 17
Q2 = 138,5 + 9 x ( ------------- )
12
Q2 = 140,75
-------------------------------------------
Untuk
Q3 , maka Lo = 147,5 F = 29
C = 9 dan f = 5
sehingga diperoleh :
( (120 / 4) – 29
Q3 = 147,5 + 9 x ( ------------------ )
5
( 30 – 29
Q3 = 129,5 + 9 x ( ------------- )
5
Q3 = 149,3
--------------------------------------------
DESIL
DATA BERKELOMPOK
( (in / 10) – F
Di = Lo + C x ( ------------------ ) dimana i = 1,2,3
f
Kita tentukan
Kelas D3 dan D7,
D3
membagi data 30% ke bawah dan 70% keatas
D7
membagi data 70% ke bawah dan 30% keatas
sehingga
D3 berada pada kelas 130 – 138 dan D7 berada pada kelas 139 – 147
( (3x40) /
10) – 9 ) 12 - 9
D3 = 129,5 + 9 x ( ------------------------ ) = 129,5 + 9 (-----------) = 132,875
8
8
( (7x40) /
10) – 17 ) 28
- 17
D7 = 139,5 + 9 x ( -------------------------- ) = 138,5 + 9 (-----------) = 146,75
8 12
1.
PERSENTIL
DATA BERKELOMPOK
( (in / 100) – F
Pi = Lo + C x ( ---------------------- ) dimana i = 1,2,3….99
f
ambil persentil pada 75
(75 x 40)
Letak P75 = -------------- =
30
100
Berarti masuk kelas ke V (148 – 156)
didapatkan dari jumlah frekwesi tiap kelas
sampai mencapai 30 yaitu (4 + 5 + 8 + 12
+ 5 = 34)
Untuk P75 , maka Lo = 147,5
F = 4 + 5 + 8 + 12 = 29 C =
9 dan
f = 5
sehingga diperoleh :
( (75 x 40 / 100) – 29)
Pi = 147,5 + 9 x
( ----------------------------- ) = 149.3
5
Tidak ada komentar:
Posting Komentar